Александр Милинкевич родился в городе Гродно в семье заслуженного учителя БССР. Отец – Владимир Баран, мать – Мария Милинкевич. В шестнадцатилетнем возрасте Александр сменил фамилию Баран на Милинкевич. Дед Милинкевича был активистом белорусского движения на Гродненщине в 1920-х годах.
В 1965 году Милинкевич с отличием окончил школу, в 1969-м – физико-математический факультет Гродненского педагогического института. Работал школьным учителем в Гродно. После окончания аспирантуры Института физики АН БССР в 1972 году работал младшим научным сотрудником.
В 1976 году защитил диссертацию по теме «Механизм генерации сверхмощных лазерных импульсов». Затем работает в Гродно инженером и преподает в педагогическом институте. С 1978-го по 2000 год – доцент физического факультета Гродненского университета. С 1980-го по 1984 год – заведующий кафедрой физики в Сетифском университете (Алжир).
В более поздние годы Милинкевич стажировался в университете Монпелье (Франция) и Калифорнийском университете (США), Польше по проблемам местного самоуправления, госстроительства экономических реформ и прав человека, изучал современные методы образования в Великобритании и опыт развития спорта в Канаде.
Прошел курс обучения высших управленческих кадров в Европейском центре проблем безопасности (Германия). Стажировался в учреждениях Европейского союза по вопросам функционирования и расширения (Бельгия, Нидерланды, Франция). Выступал с аналитическими докладами в Европарламенте и Еврокомиссии.
Милинкевич – автор 65 научных работ и монографий по квантовой электронике, лазерной технике, а также истории, культуре, образованию, архитектуре Беларуси.
Кроме белорусского владеет четырьмя иностранными языками: английским, французским, польским и русским.
В 1990–1996 годах Милинкевич занимал пост зампредседателя Гродненского горисполкома, где курировал вопросы образования, культуры, здравоохранения, молодежи, спорта и СМИ. В 2001 году руководил предвыборной кампанией кандидата в президенты Белоруссии Семена Домаша. В октябре 2005 года Милинкевич стал единым кандидатом от демократической оппозиции на президентских выборах 2006 года. Проиграл выборы действующему главе государства Александру Лукашенко. 26 апреля 2006 года после митинга в память жертв Чернобыльской трагедии Александр Милинкевич был арестован на 15 суток (за организацию несанкционированных акций протеста против официальных результатов выборов и политики властей в деле ликвидации последствий катастрофы на ЧАЭС).
Милинкевич публично заявил о своем желании баллотироваться на президентских выборах в декабре этого года. По его словам, его рейтинг составляет 9,8%.