Математики: Кривая Гаусса не доказывает выборных нарушений

Математика ворвалась в жизнь оппозиции после парламентских выборов в декабре совершенно неожиданно.

Еще до того как были подведены окончательные итоги голосования, оппозиционеры, пытаясь доказать, что «масштабные фальсификации» в пользу «Единой России» помешали оппозиции победить, подняли на щит распределение вероятностей Гаусса: базовое основание центральной предельной теоремы, которая гласит, что при огромной статистической выборке не связанных друг с другом величин распределение вероятностей подчиняется определенному графику.

Его и вывел великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.

График явки (то есть суммы слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы) по разным избирательным участкам, который так полюбился оппозиции, со схемой Гаусса не совпал: оказалось, что у «ЕР» обнаруживается явный перекос, которого быть не должно.

Именно этот факт послужил основанием для обвинений в нелегитимности выборов уже после того, как суды не были завалены доказательствами «масштабных фальсификаций»: тот факт, что распределение явки показалось оппозиции искусственным, остался в итоге едва ли не главным основанием для критики парламентских выборов.

«Любое естественное распределение выглядит как кривая Гаусса», – это ставшее расхожим определение накануне президентских выборов, результаты которых оппозиция уже готова оспорить, взялись опровергнуть математики из Eruditor group, компании, занимающейся созданием интеллектуальных сервисов. В блоге Eruditor вышла подробная статья магистра МФТИ Сергея Кузнецова, объясняющая один простой факт, оппозиционерами забытый, и доказывающая, что математически доказывать фальсификации возможно, но результат получается совсем не таким, как ожидалось.

Факт, о котором пишет исследователь, состоит в территориальной дифференциации огромной страны. Поясняя свою мысль на простом примере, когда условные кандидаты Чингачгук Большой Змей и Георг II получают схожие проценты на участках, находящихся в вигвамах (тут побеждает индеец) и городских мэриях (здесь победу празднует Георг), автор раскрывает важность историко-культурных факторов. 

«Если бы людей приписывали к случайно выбранным участкам – тогда да, был бы чёткий «гаусс». Но раз участки выбираются не случайно, а по территориальному признаку, то распределение обязано зависеть от географических неоднородностей предпочтений электората. В заводском посёлке одно распределение, в воинской части – другое, в фешенебельном центре города – третье. В северной области – одно, в южной республике – другое. В разных местах люди живут по-разному, и поэтому по-разному относятся к правящей партии», – поясняет Кузнецов.

Именно поэтому строгие графики по Гауссу не получаются почти ни в одной крупной стране.  Схемы для парламентских выборов в Великобритании, США, Польше, Германии демонстрируют, что нормальное распределение не работает из-за территориальных различий.

Впрочем, не только чистой математикой, но еще и логикой (в ее научном понимании) оперирует Кузнецов, поясняя, что прямой причинно-следственной связи между высокой явкой и высокими процентами за ту или иную партию нет, а корреляция, действительно существующая при таком развитии событий, не доказывает манипуляций с бюллетенями.

«Например, рассмотрим два параметра, характеризующих пожары в определённом городе: А – нанесённый пожаром ущерб, Б – количество пожарных, участвовавших в ликвидации этого пожара. Между величинами А и Б существует высокая положительная корреляция – как правило, чем больше был нанесён ущерб, тем одновременно и больше пожарных участвовало в тушении. Но будет полным абсурдом утверждать, что ПРИЧИНОЙ большого ущерба стало большое количество пожарных», – пишет Кузнецов.

Впрочем, на этом математики не остановились. Как рассказал газете ВЗГЛЯД один из соавторов статьи, генеральный директор Eruditor group Егор Руди, было проведено еще одно специальное исследование, посвященное применению к избирательным бюллетеням закона Бенфорда.

«Собственно закон Бенфорда, который объясняет, где случайная выборка чисел, а где рукотворная, может убедительно показать, где случайные (то есть настоящие) бюллетени, а где рукотворные, – и данные ЦИК говорят о том, что их выборка – настоящая, а бюллетени наблюдателей совершенно очевидно «нарисованы», – рассказал Руди.

«На самом деле график, которым оперировала оппозиция, должен выглядеть как сумма «гауссов», то есть нужно рассматривать явку на разных географических территориях. И график может быть двугорбым, трехгорбым и так далее. То есть в случае с использованием кривой Гаусса мы имеем дело с манипуляцией: график проще всего предъявить, а кто там будет лезть и разбираться, что на самом деле. И наша публикация призвана доказать, что, во-первых, манипулятивные техники сработали на достаточно большой аудитории, а во-вторых, они же будут повторены и после выборов 4 марта», – по словам исследователя, к такому развитию событий нужно быть готовым.