Акимов занимал должность первого заместителя руководителя аппарата правительства.
Родился 1 марта 1970 года в Малоярославце Калужской области. Окончил исторический факультет Калужского государственного педагогического университета имени К.Э. Циолковского. Два года был учителем истории в средней школе Малоярославца. Служил в Советской армии.
В 1996–1997 годах был председателем региональной комиссии по рынку ценных бумаг Калужской области. В 1997–2001 годах был заместителем директора департамента экономики и промышленности правительства Калужской области. В 2001–2004 годах Акимов работал в должности первого зампреда комитета государственного имущества Калужской области.
В 2004 году назначен на пост министра экономического развития Калужской области. В 2004–2007 годах – первый заместитель городского головы, городской голова Калуги. С 2007 года по май 2012 года занимал пост заместителя губернатора Калужской области.
22 мая 2012 года назначен заместителем руководителя аппарата правительства России. Курировал вопросы экономики, финансов, госимущества, таможни, а также энергетики, промышленности, транспорта и связи, а также занимался инвестиционной политикой, наукой, высокими технологиями и сельским хозяйством.
24 мая 2013 года Максим Акимов назначен первым заместителем руководителя аппарата правительства России.
Акимов женат, у него двое сыновей.